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论坛: 茶余饭后标题: 集合悖论

作者: tmxk [tmxk]

论坛用户

首先我们进行定义：

世界上有两种集合，一种集合包含他本身，我们叫这种集合为非正常集N，比如：描述少于五十个字的集合。这个集合就包含在他自身当中。另一种集合不包括他自己，这就是通常我们在数学里学到的那种集合，我们把这种集合叫作正常集M。

再强调两个集合的特性：一、互补的两个集合相加等于全集，比如M+N=全集。二、集合中的元素具有唯一性。比如，一个元素在任何一个集合中只能出现一次，并且绝不会再在这个集合的补集中出现。

现在，问题来了，如果A是全集，M∈A，N∈A，M+N=A，那么，请问：M应该属于M和N中的哪个集合？

证明如下：

1、假设M∈N，那么，根据非正常集N的定义，我们知道，M一定属于M。
根据集合的唯一性，M既属于N，又属于M，所以，我们的假设不成立。
2、假设M∈M，那么，要据非正常集N的定义，我们得到，M一定属于N。
根据集合的唯一性，M既属于N，又属于M，所以，我们的假设不成立。

至此，我们推得集合M既不属于M，也不属于N，因为M+N=A，也就是说M不属于全集中的元素。

上面的证明过程中，将“属于”更换成“包含于”同样合适。

大家说说，那他应该在哪里呀？

地主发表时间: 05/11 12:24

回复: napolun [napolun]

版主

楼上的，集合的唯一性只是它和补集构成全集时才成立，这个命题没说M是N的补集，也有可能M∈N∈A。

B1层发表时间: 05/14 00:51

回复: tmxk [tmxk]

论坛用户

M+N=A，这是很明确的，而且是可以证明的。

因为M与N在定义上就是互补的。

B2层发表时间: 05/14 12:00

回复: tmxk [tmxk]

论坛用户

靠，大家不给面子嘛，应该有几个高手来讨论嘛。

再不来我可要公布答案啦！

B3层发表时间: 05/16 17:48

回复: magic [buaaytt]

论坛用户

我是没看懂
因为学的时候没认真

B4层发表时间: 05/18 10:08

回复: tmxk [tmxk]

论坛用户

没看懂就是我的描述有问题。问题的关键不在描述那一块儿，而是这个问题推翻了当今数学界的生存基础。现在的数学界，特别是高等数学，集合论是上层建筑，如果没有了集合论，高等数学里面至少一多半的理论都不存在。在初等数学里面的一元二次方程和二元一次方程之类的解的数量就是不确定的。这样会很可怕哟。

还要调调大家味口，下周公布答案。

B5层发表时间: 05/18 11:00

回复: is123 [is123]

论坛用户

本来就有病态集合啊；

B6层发表时间: 05/20 13:34

回复: tmxk [tmxk]

论坛用户

公布答案：

以上证明是没有错误的。集合本身也没有问题。问题出在无穷大的处理上。理论上来讲，无穷大是和无穷大加一一样大的，但这个悖论所要说明的是，“无穷大加一”比“无穷大”要大。这就是悖论的由来。别小瞧这个东西，数学家们可是忙了好几年才找到问题所在。

B7层发表时间: 05/22 17:00

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